Matemática discreta Ejemplos

$5 z^{\frac{13}{5}} - 31 z^{\frac{8}{5}} + 6 z^{\frac{3}{5}} = 0$

Paso 1

Factoriza $z^{\frac{3}{5}}$ de $5 z^{\frac{13}{5}} - 31 z^{\frac{8}{5}} + 6 z^{\frac{3}{5}}$ .

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Paso 1.1

Factoriza $z^{\frac{3}{5}}$ de $5 z^{\frac{13}{5}}$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}}) - 31 z^{\frac{8}{5}} + 6 z^{\frac{3}{5}} = 0$

Paso 1.2

Factoriza $z^{\frac{3}{5}}$ de $- 31 z^{\frac{8}{5}}$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} (- 31 z^{\frac{5}{5}}) + 6 z^{\frac{3}{5}} = 0$

Paso 1.3

Factoriza $z^{\frac{3}{5}}$ de $6 z^{\frac{3}{5}}$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} (- 31 z^{\frac{5}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} \cdot 6 = 0$

Paso 1.4

Factoriza $z^{\frac{3}{5}}$ de $z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} (- 31 z^{\frac{5}{5}})$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 31 z^{\frac{5}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} \cdot 6 = 0$

Paso 1.5

Factoriza $z^{\frac{3}{5}}$ de $z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 31 z^{\frac{5}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} \cdot 6$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 31 z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot 6 = 30$ y cuya suma es $b = - 31$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $- 31$ de $- 31 z^{\frac{5}{5}}$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 31 z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Paso 2.1.2

Reescribe $- 31$ como $- 1$ más $- 30$

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} + (- 1 - 30) z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 1 z^{\frac{5}{5}} - 30 z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$z^{\frac{3}{5}} ((5 z^{\frac{10}{5}} - 1 z^{\frac{5}{5}}) - 30 z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$z^{\frac{3}{5}} (z^{\frac{5}{5}} (5 z^{\frac{5}{5}} - 1) - 6 (5 z^{\frac{5}{5}} - 1)) = 0$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 z^{\frac{5}{5}} - 1$ .

$z^{\frac{3}{5}} ((5 z^{\frac{5}{5}} - 1) (z^{\frac{5}{5}} - 6)) = 0$

Paso 3

Divide $5$ por $5$ .

$z^{\frac{3}{5}} ((5 z - 1) (z^{\frac{5}{5}} - 6)) = 0$

Paso 4

Divide $5$ por $5$ .

$z^{\frac{3}{5}} ((5 z - 1) (z - 6)) = 0$

Paso 5

Elimina los paréntesis innecesarios.

$z^{\frac{3}{5}} (5 z - 1) (z - 6) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$z^{\frac{3}{5}} = 0$

$5 z - 1 = 0$

$z - 6 = 0$

Paso 7

Establece $z^{\frac{3}{5}}$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 7.1

Establece $z^{\frac{3}{5}}$ igual a $0$ .

$z^{\frac{3}{5}} = 0$

Paso 7.2

Resuelve $z^{\frac{3}{5}} = 0$ en $z$ .

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Paso 7.2.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{5}{3}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el exponente.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1.1

Simplifica ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Paso 7.2.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Paso 7.2.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Paso 7.2.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Paso 7.2.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

Paso 7.2.2.1.1.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 7.2.2.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

Paso 7.2.2.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$z^{1} = 0^{\frac{5}{3}}$

Paso 7.2.2.1.1.2

Simplifica.

$z = 0^{\frac{5}{3}}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.2.1

Simplifica $0^{\frac{5}{3}}$ .

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Paso 7.2.2.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.2.2.1.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$z = {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}$

Paso 7.2.2.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

Paso 7.2.2.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

Paso 7.2.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$z = 0^{5}$

Paso 7.2.2.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$z = 0$

Paso 8

Establece $5 z - 1$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 8.1

Establece $5 z - 1$ igual a $0$ .

$5 z - 1 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $5 z - 1 = 0$ en $z$ .

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Paso 8.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$5 z = 1$

Paso 8.2.2

Divide cada término en $5 z = 1$ por $5$ y simplifica.

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Paso 8.2.2.1

Divide cada término en $5 z = 1$ por $5$ .

$\frac{5 z}{5} = \frac{1}{5}$

Paso 8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 8.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 z}{5} = \frac{1}{5}$

Paso 8.2.2.2.1.2

Divide $z$ por $1$ .

$z = \frac{1}{5}$

Paso 9

Establece $z - 6$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 9.1

Establece $z - 6$ igual a $0$ .

$z - 6 = 0$

Paso 9.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$z = 6$

Paso 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $z^{\frac{3}{5}} (5 z - 1) (z - 6) = 0$ verdadera.

$z = 0, \frac{1}{5}, 6$